Question

15．如图，直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且满足$\sqrt{a+3}$+|a+b|=0，将线段AB向右平移4个单位，再向下平移1个单位，A点的对应点为C，B点的对应点为D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使三角形CDP的面积S_△CDP=3？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，说明理由；
（3）设M为x轴负半轴上一动点（异于A点），连CM，∠BAO与∠DCM的平分线交于N，请你探究∠AMC与∠ANC的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质，得到a+3=0，a=b=0，即可解答；
（2）求出直线CD解析式，设点P的坐标为（0，m），求出点P到直线CD的距离，根据面积公式列出方程，即可解答；
（3）由平移可知AB∥CD，根据平行线的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质可得∠AMC与∠ANC的数量关系．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a+3}$+|a+b|=0，
∴a+3=0，a+b=0，
解得：a=-3，b=3，
∴A（-3，0），B（0，3）．

（2）∵A（-3，0），B（0，3）．
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$
∵线段AB向右平移4个单位，再向下平移1个单位，A点的对应点为C，B点的对应点为D，
∴C（1，-1），D（4，2），CD=3$\sqrt{2}$
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（1，-1），D（4，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-1}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y=x-2，
设点P的坐标为（0，m），
则点P到直线CD的距离为；h=$\frac{|0-m-2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}=\frac{|m+2|}{\sqrt{2}}$，
∵S_△CDP=3，
∴$\frac{1}{2}×\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}×3\sqrt{2}=3$，
∴|2+m|=2，
∴m=0或m=-4，
∴点P的坐标为（0，0）或（0，-4）．

（3）如图，
由平移可知AB∥CD，
∴∠ABN=∠BCE，∠BAE+∠AED=180°，
∵∠BAO与∠DCM的平分线交于N，
∴∠BAN=∠NAE，∠BCM=∠BCD，
∴2∠ANC=2∠ABN+2∠BAN=∠MCD+∠BAE，∠AMC=∠AED-∠MCD，
∴2∠ANC+∠AMC=∠MCD+∠BAE+∠AED-∠MCD=∠BAE+∠AED=180°．
故∠AMC与∠ANC的数量关系为：2∠ANC+∠AMC=180°．

点评 考查了坐标与图形性质，涉及的知识点有：非负数的性质，待定系数法求直线解析式，勾股定理，三角形面积，平移，平行线的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，综合性较强，有一定的难度．