Question

【题目】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；

（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；

（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．

Answer 1

【答案】（1）四边形ABCD是垂直四边形；理由见解析；（2）见解析；（3）GE＝

【解析】

（1）由AB＝AD，得出点A在线段BD的垂直平分线上，由CB＝CD，得出点C在线段BD的垂直平分线上，则直线AC是线段BD的垂直平分线，即可得出结果；

（2）设AC、BD交于点E，由AC⊥BD，得出∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，即可得出结论；

（3）连接CG、BE，由正方形的性质得出AG＝AC，AB＝AE，，，∠CAG＝∠BAE＝90°，易求∠GAB＝∠CAE，由SAS证得△GAB≌△CAE，得出∠ABG＝∠AEC，推出∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，得出四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，，，代入计算即可得出结果．

（1）解：四边形ABCD是垂直四边形；理由如下：

∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂直四边形；

（2）证明：设AC、BD交于点E，如图2所示：

∵AC⊥BD，

∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，

由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；

（3）解：连接CG、BE，如图3所示：

∵正方形ACFG和正方形ABDE，

∴AG＝AC，AB＝AE，，，∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，

又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，

∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，

∵AC＝4，BC＝3，

∴，，

∴，

∴GE＝．