Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与相交于点，线段、的长是一元二次方程的两根，，点的横坐标为3，反比例函数的图象经过点．

（1）若直线与反比例函数图象上除点外的另一交点为，求的面积；若点在轴上，若点在轴上，求的最小值．．

（2）若点在坐标轴上，在平面内是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形是矩形且线段为矩形的一条边？若存在，直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）72；20

（2）答案见解析

【解析】

（1）先解一元二次方程，得出OA，OC，即可得出点A和点C坐标，进而求出OB得出B点坐标，求出直线AB解析式，即可求出点E坐标，再求出点P坐标，再用面积差求出的面积.

作点P关于x轴的对称点，点E关于y轴的对称点，就是的最小值，求出即可.

（2）先确定直线CE解析式，、、、为顶点的四边形是矩形作为已知条件，作满足条件的辅助线，根据两条直线垂直，它们的k值相乘等于-1，两条直线平行k值相等且经过已知点，可求出直线解析式，再利用两条直线相交，y值相等，列出关于x的等式，求出交点坐标，即为所求.

（1）∵线段、的长是一元二次方程的两根

∴OC=6，OA=12，

∴=16

∴B(0，16)

设直线AB的解析式为

∴

∴直线AB的解析式为

∵点的横坐标为3，且在直线AB上

得E(3，12)

又∵点E在反比例函数

∴k=36

设点P横坐标为m纵坐标就为

∵点P在反比例函数上

∴

∴（舍）或

∴P(9，4)

如图作点P关于x轴的对称点，点E关于y轴的对称点

∵P(9，4)，E(3，12)

∴ (9，-4)，（-3，12）

连接交x轴于R，交y轴于S，此时最小

最小值=

(2)由（1）知

∴直线CE的解析式为

∵、、、为顶点的四边形是矩形且线段为矩形的一条边

过点E作垂直于CE交x轴于交y轴于M

已知（-3，12）

∴直线的解析式为

过点M作∥CE，过点C作

∴直线MN的解析式为

∵C(-6，0)

∴直线CN的解析式为

N点是直线MN和CN的交点设N（m，n）

m=-9，n=

N(-9， )

过点作交直线CN于

∴直线的解析式为联合直线CN的解析式为

得

过作交于

∵直线CN的解析式为，

∴直线的解析式为

联合直线的解析式为

∴

∴所以满足条件的N点的坐标为(-9， )，或