Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若AB＝10，BF＝，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE＝8．

【解析】

（1）连接OD、AD，由AB＝AC且∠ADB＝90°知D是BC的中点，由O是AB中点知OD∥AC，根据OD⊥DE进一步求证即可；

（2）通过证明△ODF∽△AEF，可得，据此进一步求AE的长即可．

（1）连接OD、AD，

∵DE切⊙O于点D，

∴OD⊥DE，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴D是BC的中点，

又∵O是AB中点，

∴OD∥AC，

∵OD⊥DE，

∴DE⊥AC；

（2）∵AB＝10，

∴OA＝OB＝OD＝5，

∴OF＝BO+BF＝，AF＝BF+AB＝，

由（1）得OD∥AC，

∴∠ODF=∠AEF，∠F=∠F，

∴△ODF∽△AEF，

∴，

∴，

∴AE＝8．