Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF=45°，CF交AD于点F，将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDP，点P恰好在AD的延长线上．

（1）求证：EF=PF；

（2）直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切吗？为什么？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）相切．理由见解析.

【解析】

（1）根据已知判定△ECF≌△PCF，从而得到EF=PF；

（2）过点C作CQ⊥EF于点Q，由（1）得，△ECF≌△PCF又CQ⊥EF，CD⊥FP，根据切线的判定定理，从而得到直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切．

（1）在正方形ABCD中，∠BCD=90°，

依题意△CDP是△CBE绕点C旋转90°得到，

∴∠ECP=90°，CE=CP，

∵∠ECF=45°，

∴∠FCP=∠ECP﹣∠ECF=90°﹣45°=45°，

∴∠ECF=∠FCP，CF=CF，

∴△ECF≌△PCF，

∴EF=PF；

（2）相切．理由如下：

过点C作CQ⊥EF于点Q，

由（1）得，△ECF≌△PCF，

∴∠EFC=∠PFC，

∵CQ⊥EF，CD⊥FP，

∴CQ=CD，

∴直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切．