Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，CE⊥AB于点F．

（1）求证：BF=CF；

（2）若CD=3cm，AC=4cm，求⊙O的半径及CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2.4cm．

【解析】

（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由CE⊥AB，根据同角的余角相等，可证得∠2=∠A，又由点C是的中点证得∠1=∠A，继而可证得CF=BF．

（2）根据勾股定理即可求得直径AB的长，进而求得⊙O的半径，然后证得△CBE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求得CE．

（1）连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵CE⊥AB，

∴∠CEB=90°，

∴∠2=90°﹣∠3=∠A，

又∵C是弧BD的中点，

∴∠1=∠A，

∴∠1=∠2，

∴CF=BF；

（2）∵CD=3cm，

∴BC=CD=3cm，

∵AC=4cm，

∴在R△ABC中，AB2=AC2+BC2，

即AB2=32+42，

∴AB=5，

∴⊙O的半径为2.5cm，

∵∠2=∠A，∠EBC=∠ABC，

∴△CBE∽△ABC，

∴，即，

∴CE=2.4cm．