Question

【题目】如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，CD与BE交于点Q，连接PQ

（1）求证：AD＝BE；

（2）∠AOB的度数为　 　；PQ与AE的位置关系是　 　；

（3）如图2，△ABC固定，将△CDE绕点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，在旋转过程中，（1）中的结论是否总成立？∠AOB的度数是否改变？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）60°，PQ∥AE；（3）在旋转过程中，（1）中的结论总成立，∠AOB的度数不会改变，见解析

【解析】

（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，求出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出两三角形全等即可；

（2）由三角形的外角性质，可得∠AOB＝∠BEA+∠DAC，∠ACB＝∠EBC+∠BEA，则∠AOB＝∠ACB＝60°，证明∠QPC＝∠BCA，可得PQ∥AE；

（3）证明△ACD≌△BCE（SAS），得到AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，根据∠BOA＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，即可解答．

（1）证明：∵△ABC和△CDE为等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

（2）∵△ACD≌△BCE，

∴∠DAC＝∠EBC，

由三角形的外角性质，∠AOB＝∠BEA+∠DAC，

∠ACB＝∠EBC+∠BEA，

∴∠AOB＝∠ACB＝60°；

∵∠DCP＝60°＝∠ECQ，

∴在△CDP和△CEQ中，

∠ADC＝∠BEC，CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ，

∴△CDP≌△CEQ（ASA）．

∴CP＝CQ，

∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，△PCQ是等边三角形，

∴∠QPC＝∠BCA，

∴PQ∥AE；

故答案为：60°，PQ∥AE；

（3）在旋转过程中，（1）中的结论总成立，∠AOB的度数不会改变，理由如下：

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，

即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，

∴∠BOA＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°．