Question

【题目】正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：①MA=MN；②∠AQD=∠AQN； ③S△AQN=S五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．其中正确的结论有（　　）

A. ①②③④ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①②

Answer 1

【答案】A

【解析】

延长CD到F，使DF=BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，证A B N M四点共圆，推出∠ANM=∠NAM即可判断①；证△ABN≌△ADF，推出AF=AN，∠FAD=∠BAN，证△NAQ≌△FAQ，推出∠AQN=∠AQD即可判断②；证△ADQ≌△AHQ，即可推出③；根据AH=AD=AB，AH⊥NQ，即可判断④．

延长CD到F，使DF=BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，

∵正方形ABCD，NM⊥AQ，

∴∠AMN=∠ABC=90°，

∴A B N M四点共圆，

∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，

∴∠ANM=∠NAM=45°，

∴MA=MN，∴①正确；

∵正方形ABCD，

∴∠ABN=∠ADF=90°，AD=AB，

在△ABN和△ADF中，

∵，

∴△ABN≌△ADF，

∴∠FAD=∠BAN，AF=AN，

∵∠NAM=∠BAC=45°，

∴∠FAQ=∠FAD+∠DAQ=45°=∠NAQ，

在△NAQ和△FAQ中，

∵，

∴△NAQ≌△FAQ，

∴∠AQN=∠AQD，∴②正确；

在△ADQ和△AHQ中，

∵，

∴△ADQ≌△AHQ，

∴S△ADQ=S△AQH，

∴S△NAQ=S△FAQ=S△FAD+S△ADQ=S五边形ABNQD，

∴③正确；

∵AH=AD=AB，AH⊥NQ，

∴QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线，

∴④正确．

故选：A．