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【题目】如图,在△ABC中,ACCBOAB的中点,CA与⊙O相切于点ECO交⊙O于点D

1)求证:CB是⊙O的切线;

2)若∠ACB80°,点P是⊙O上一个动点(不与DE两点重合),求∠DPE的度数.

【答案】(1)详见解析;(2)DPE的度数为25°或155°.

【解析】

(1)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,据此进行判断.
(2)依据∠ACB=80°,OC平分∠ACB,可得∠ACO=40°,∠DOE=90°-40°=50°,分两种情况:当点P在优弧弧DPE上时,∠DPE=∠DOE=25°;当点P在劣弧弧DE上时,∠DPE=180°-25°=155°.

解:(1)如图1所示,连接OE,过OOFBCF

CAO相切于点E

OEAC

∵△ABC中,ACCBOAB的中点,

OC平分∠ACB

OEOF

又∵OEO的半径,

CBO的切线;

(2)如图2,∵∠ACB=80°,OC平分∠ACB

∴∠ACO=40°,

又∵OEAC

∴∠DOE=90°﹣40°=50°,

当点P在优弧 上时,∠DPEDOE=25°;

当点P在劣弧上时,∠DPE=180°﹣25°=155°.

∴∠DPE的度数为25°或155°.

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