Question

如图，四边形ABCD是边长为

2

的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并求出这个最小值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）根据旋转的性质得BM=BN，∠MBN=60°，则可判断△ABE是等边三角形，得到BA=BE，∠ABE=60°，易得∠ABM=∠EBN，然后根据“SAS”可判断△AMB≌△ENB；
（2）①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，根据正方形的性质得AC=2，点O为BD的中点，根据两点之间线段最短得到AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），于是得到当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小；
②由△BMN为等边三角形得BM=MN，由△AMB≌△ENB得EN=AM，根据两点之间线段最短，当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2，作EH⊥BC于H，先计算出∠EBH=30°，在Rt△EBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到EH=

1

2

BE=

2

2

，BH=

3

EH=

6

2

，然后在Rt△EHC中，根据勾股定理可计算出CE=

3

+1．

解答：（1）证明：∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM=BN，∠MBN=60°，
∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠ABM+∠ABN=60°，∠EBN+∠ABN=60°，
∴∠ABM=∠EBN，
在△AMB和△ENB中，

AB=EB ∠ABM=∠EBN BM=BN

，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）解：①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，
∵四边形ABCD是边长为

2

的正方形，
∴AC=

2

×

2

=2，点O为BD的中点，
∵AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），
∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为2；
②∵△BMN为等边三角形，
∴BM=MN，
∵△AMB≌△ENB，
∴EN=AM，
∴当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2，
作EH⊥BC于H，
∵∠ABE=60°，∠ABC=90°，
∴∠EBH=30°，
在Rt△EBH中，EH=

1

2

BE=

2

2

，
BH=

3

EH=

6

2

，
在Rt△EHC中，CH=BH+BC=

6

2

+

2

，
∴CE²=CH²+EH²=（

6

2

+

2

）²+（

2

2

）²=4+2

3

=（

3

+1）²，
∴CE=

3

+1，
∴当M点在CE上时，AM+BM+CM的值最小，这个最小值为

3

+1．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质；会利用含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理进行计算；会运用两点之间线段最短解决有关线段的和的最小值问题．