Question

11．以AB为直径的⊙O分别与四边形ABCD的边切于点A、E、B，DB=DC．
（1）求证：CE=2DE；
（2）若⊙O的半径为2$\sqrt{2}$，求：S_四ABCD．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得CH=BH，再根据切线长的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，根据切线长定理得DA=DE，CE=CB，所以四边形ABHD为矩形，则AD=BH=DE=BH，于是得到CE=CB=2DE；
（2）由四边形ABHD为矩形得到AB=DH=4$\sqrt{2}$，设AD=x，则CH=x，BC=2x，CD=CE+DE=x+2x=3x，然后在Rt△CDH中利用勾股定理得x²+（4$\sqrt{2}$）²=（3x）²，解得x=2，然后根据梯形的面积公式求解．

解答 （1）证明：作DH⊥BC于H，如图，
∵DB=DC，
∴CH=BH，
∵⊙O分别与四边形ABCD的边切于点A、E、B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，DA=DE，CE=CB，
∴四边形ABHD为矩形，
∴AD=BH，
∴DE=AD=BH，
∴CE=CB=2DE；
（2）解：∵四边形ABHD为矩形，
∴AB=DH=4$\sqrt{2}$，
设AD=x，则CH=x，BC=2x，CD=CE+DE=x+2x=3x，
在Rt△CDH中，x²+（4$\sqrt{2}$）²=（3x）²，解得x=2，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$×（2+4）×4$\sqrt{2}$=12$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了切线长定理和等腰三角形的性质．