Question

6．如图．在平面直角坐标系中，点C、点A为x轴上两点，OA、OC的长是方程y=x²-7x+12=0的两个根（OC＞OA）．点B在y轴上，CD⊥AB交y轴于点P，且CP=AB．
（1）求点A、C的坐标．
（2）求直线CD的函数解析式．
（3）直线CD上是否存在点E，使△ACE为等腰三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-7x+12=0得OC=4，OA=3，即可得到结论；
（2）根据已知条件易求△PCO≌△ABO，于是得到OP=OA=3，OB=OC=4，求得p的坐标，再根据待定系数法可求得结论；
（3）易求AC=3-（-4）=7，分三种情况：①EC=EA，根据等腰三角形的性质可求得结论，②EC=CA=7，根据相似三角形的性质可求得结论，③EA=CA=7，有勾股定理求出结论．

解答 （1）解：解方程x²-7x+12=0得x₁=3，x₂=4，
∴OC=4，OA=3，
∴A（3，0），C（-4，0）；

（2）∵CD⊥AB，x轴⊥y轴，
∴∠PCO=∠ABO=90°-∠BAO，
在△PCO和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POC=∠AOB}\\{∠PCO=∠ABO}\\{CP=AB}\end{array}\right.$，
∴△PCO≌△ABO，
∴OP=OA=3，OB=OC=4，
∴P（0，3），
设直线AD解析式为y=kx+b，把P（0，3），C（-4，0）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$．
故直线CD的函数解析式为y=$\frac{3}{4}x+3$；
（3）AC=3-（-4）=7，CP=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
当EC=EA时，根据等腰三角形的性质，E点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，
把x=-$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{3}{4}x+3$得：y=$\frac{21}{8}$，即E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{8}$）
当EC=AC=7时，
设p（b，m），
∴$\frac{m}{PO}=\frac{EC}{PC}$，即$\frac{m}{3}=\frac{7}{5}$，
解得：m=$\frac{21}{5}$，
把y=$\frac{21}{5}$代入y=$\frac{3}{4}x+3$得x=$\frac{8}{5}$，即E（$\frac{8}{5}$，$\frac{21}{5}$）
当EA=AC=7时，设E（n，$\frac{3}{4}n+3$），
由勾股定理得：（n-3）²+（$\frac{3}{4}n+3$）²=AE²=7²，
解得：n=$\frac{24}{50}$±$\frac{224}{50}$，
∵AP=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{18}$＜7，
∴E在第一象限，
∴n＞0，
∴n=$\frac{124}{25}$，n=4，
$\frac{3}{4}n+3$=$\frac{168}{25}$，
∴E（$\frac{124}{25}$，$\frac{168}{25}$），（-$\frac{48}{5}$，-$\frac{21}{5}$），
综上所述：E的坐标为：E（-$\frac{48}{5}$，-$\frac{21}{5}$），E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{8}$），E（$\frac{8}{5}$，$\frac{21}{5}$），E（$\frac{124}{25}$，$\frac{168}{25}$）．

点评 本题主要考查了一元二次方程，全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式的求法，等腰三角形的性质，综合性强，能正确分类是解决问题的关键．