Question

18．如图，在梯形ABCD的对角线AC的延长线上任取一点P，过点P与梯形两条底边的中点的连线分别交腰AB、CD于点M、N，求证：MN∥AD∥BC．

Answer 1

分析 要证MN∥AD∥BC，只需证明$\frac{BM}{MA}=\frac{CN}{ND}$即可．分别对△ABC和截线MKP、△ACD和截线PNL使用梅涅劳斯定理，再结合中点条件，导出所需的线段比例关系即可．

解答 证明：对于△ABC和截线MKP，由梅涅劳斯定理可得：$\frac{AM}{MB}•\frac{BK}{KC}•\frac{CP}{PA}=1$，
∵BK=CK，
∴$\frac{AM}{BM}=\frac{PA}{CP}$；
对于△ACD和截线PNL，由梅涅劳斯定理可得：$\frac{AP}{CP}•\frac{CN}{ND}•\frac{DL}{LA}=1$，
∵AL=LD，
∴$\frac{PA}{CP}=\frac{ND}{CN}$，
∴$\frac{AM}{MB}=\frac{DN}{CN}$，
∴MN∥AD∥BC．

点评 本题考查梅涅劳斯定理的基本应用，对于竞赛而言，是一道很基础的题目．熟练地识别三角形及其对应的截线是掌握好梅涅劳斯定理的基本要求．