Question

10．如图，PA、PB是⊙O的一条折弦，C是AB弧的中点，CD是⊙O的直径，CE⊥PA于E，求证：PD²-AD²=PA•PB．

Answer 1

分析 延长CE交⊙O于F，连接FB并延长交AP的延长线于G，连接AF，根据圆内接四边形的性质得到∠GBP=∠FAP，根据圆周角定理得到AFC=∠BFC，推出△AEF≌△GEF，根据全等三角形的性质得到∠FAP=∠G，于是得到PB=PG，求得AE-PE=EG-PE=PG=PB，根据勾股定理即可得到结论．

解答 证明：延长CE交⊙O于F，连接FB并延长交AP的延长线于G，连接AF，
∵四边形APBF内接于⊙O，
∴∠GBP=∠FAP，
∵C是AB弧的中点，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴∠AFC=∠BFC，
∵CE⊥AP，
∴∠GEF=∠FEA=90°，
在△AEF与△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠BFC}\\{EF=EF}\\{∠FEA=∠GEF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GEF，
∴∠FAP=∠G，
∴PB=PG，
∴AE-PE=EG-PE=PG=PB，
∵CD是⊙O的直径，CE⊥AP，
∴PD²-AD²=（CD²-PD²）-（CD²-AC²）=AC²-PC²=（AE²+CE²（-（PE²+CE²）=AE²-PE²=（AE+PE）（AE-PE）=PA•PB．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角登录，正确的作出辅助线是解题的关键．