Question

5．正方形ABCD的边长为4，点P为边BC上一动点（可与B、C重合），以AP为直角边作等腰直角△APE．
（1）求证：BP+DF=PF；
（2）若点F为CD的中点，求CE的长；
（3）作△APE的外接圆⊙M，当点P在边BC上运动，请直接写出点M运动时的移动距离．

Answer 1

分析 （1）延长CB至H，使BH=DF，证明△ABH≌△ADF，得到AH=AF，∠BAH=∠DAF，证明△APH≌△APF中，得到FP=PH，证明结论；
（2）作EG⊥BC交BC的延长线于G，设BP为x，证明△ABP≌△PGE，得到EG=BP=$\frac{4}{3}$，CG=PG-PC=$\frac{4}{3}$，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）确定点P与B重合和点P与C重合时，点M的位置，结合图形计算即可．

解答 （1）证明：如图1，延长CB至H，使BH=DF，
在△ABH和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABH=∠ADF}\\{BH=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADF，
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∴∠HAP=∠FAP=45°，
在△APH和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠APH=∠APF}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△APF中，
∴FP=PH=HB+PB=BP+DF；
（2）解：如图2，作EG⊥BC交BC的延长线于G，
∵点F为CD的中点，
∴DF=FC=2，
设BP为x，则PC=4-x，
由（1）得，PF=x+2，
由勾股定理得，（4-x）²+2²=（x+2）²，
解得，x=$\frac{4}{3}$，
∵∠APE=90°，∠B=90°，
∴∠BAP=∠GPE，
在△ABP和△PGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠GPE}\\{∠G=∠G}\\{AP=PE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PGE，
∴EG=BP=$\frac{4}{3}$，CG=PG-PC=$\frac{4}{3}$，
则CE=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$；
（3）解：∵△APE是直角三角形，
∴点M是AE的中点，
当点P与B重合时，点M为BD的中点，
当点P与C重合时，点M与点D重合，
∴点M运动时的移动距离为$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练运用相关定理、正确运用数形结合思想是解题的关键．