Question

15．如图所示．两个同心圆⊙O，点A、B、C、D在外圆上，点M、N、P、Q在内圆上，0E是AB的弦心距，OF平分∠COD，且$\widehat{MN}$=$\widehat{PQ}$，求证：OE=OF．

Answer 1

分析 由$\widehat{MN}$=$\widehat{PQ}$，得到∠AOB=∠DOC，根据等腰三角形的性质得到∠BOE=∠COF，∠BEO=∠CFO=90°，推出△BOE≌△COF，根据全等三角形的性质得到结论．

解答 证明：∵$\widehat{MN}$=$\widehat{PQ}$，
∴∠AOB=∠DOC，
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴$∠BOE=\frac{1}{2}∠$AOB，
∵OC=OC，OF平分∠COD，
∴OF⊥CD，∠COF=$\frac{1}{2}∠$COD，
∴∠BOE=∠COF，∠BEO=∠CFO=90°，
在△BOE与△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COF}\\{∠BEO=∠CFO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF，
∴OE=OF．

点评 本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．