Question

5．葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光．常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进．难道植物也懂得数学？通过阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
（1）如果树的周长为25cm，绕1圈升高40cm，则它爬行的路程是多少厘米？
（2）如果树的周长为80cm，绕1圈爬行120cm，则爬行1圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？

Answer 1

分析 （1）以树枝周长为矩形的长，绕树枝一圈上升高为矩形的宽，将树枝的侧面展开，则矩形的对角线为最短路径；按照上面的方法画出矩形，使矩形两边长分别为25cm，40cm，再利用勾股定理求出矩形对角线长即为爬行路程．
（2）先根据勾股定理求出爬行1圈的高度，再求出爬行10圈的高度，即为树干高．

解答 解：（1）如图，以树枝周长为矩形的长，绕树枝一圈上升高为矩形的宽，将树枝的侧面展开，则矩形的对角线为最短路径；
以AC=25cm，BC=40cm作矩形，连接AB，利用勾股定理可知AB=$\sqrt{2{5}^{2}+4{0}^{2}}$=5$\sqrt{89}$（cm），
即它爬行路程是5$\sqrt{89}$cm；

（2）∵树的周长为80cm，绕一圈爬行120cm，
∴爬行一圈升高为：$\sqrt{12{0}^{2}-8{0}^{2}}$=40$\sqrt{5}$cm，
如果爬行10圈到达树顶，则树干高为：40$\sqrt{5}$×10=400$\sqrt{5}$cm．
答：爬行一圈升高40$\sqrt{5}$cm，如果爬行10圈到达树顶，则树干400$\sqrt{5}$cm高．

点评 本题考查了圆柱的侧面展开图的运用以及勾股定理的应用，利用圆柱的侧面展开图为矩形，最短路径为矩形的对角线长得出是解题关键．