Question

17．在△ABC中，∠ABC=90°，点C在x轴正半轴上，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上如图所示，若tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，OB=2，求经过A、B、C点的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 根据OB=2求出B点坐标，再由tan∠BAC=$\frac{1}{2}$可求出OA的长，求得A点的坐标，在Rt△ABC中利用射影定理可求出OC的长，然后得出C点坐标，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式．

解答 解：∵点B在y轴的正半轴上，OB=2，
∴B（0，2），
∵tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴OA=4，
∴A（-4，0），
在Rt△ABC中，
∵OB²=OA•OC，即4=4OC，
∴OC=1，
∴C（1，0），
设经过A、B、C点的抛物线的解析式y=a（x+4）（x-1）（a≠0）．
把点B的坐标代入，得
2=a（0+4）（0-1），
解得a=-$\frac{1}{2}$．
则该抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1）=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据已知条件求得A、B、C点的坐标是解题的关键．