Question

9．如图，在直角坐标系中，直线y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）点A坐标（-6，0），点B坐标（0，8）．
（2）如图，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，其中∠BAC=90°，AB=AC，求直线AC的函数表达式．（请用2种方法解答）．

Answer 1

分析 （1）将y=0代入可求得x=-6，从而可求得点A的坐标，将x=0代入求得y=8，从而可求得点B的坐标；
（2）方法1：根据相互垂直的直线的特点可知直线AC的一次项系数k=-$\frac{3}{4}$，然后利用待定系数法求得AC的解析式即可；方法2：如图所示：过点C作CD⊥x轴，垂足为D．先证明△CDA≌△AOB，于是可求得点C的坐标为（-14，6），最后利用待定系数求得AC的解析式即可．

解答 解：（1）令y=0得：$\frac{4}{3}$x+8=0，解得：x=-6，则点A的坐标为（-6，0）．
将x=0代入得：y=8，则点B的坐标为（0，8）．
故答案为：（-6，0）；（0，8）．
（2）方法1：
∵AC⊥AB，
∴直线AC与直线AB的一次项系数的乘积为-1．
∴直线AC的一次项系数k=-$\frac{3}{4}$．
设直线AC的解析式为y=$-\frac{3}{4}x+b$，将点A的坐标代入得：$-\frac{3}{4}×（-6）+b=0$，
解得：b=-$\frac{9}{2}$．
∴直线AC的函数表达式为y=$-\frac{3}{4}$x$-\frac{9}{2}$．
方法2：如图所示：过点C作CD⊥x轴，垂足为D．

∵∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°．
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠AB0．
在△CDA和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠AB0}\\{∠CDA=∠AOB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CDA≌△AOB．
∴CD=OA=6，AD=OB=8．
∴点C的坐标为（-14，6）．
设直线AC的函数表达式为y=kx+b，将点A、C的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{-14k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$．
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{4}x-\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相互垂直的两条直线的解析式的特点，全等三角形的性质可判断，明确相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积为-1以及求得点C的坐标是解题的关键．