Question

8．如图，在△ABC中，∠ACB=45°，D是AB边的中点，点E在BC边上，点F在AC边上，DE⊥DF，连接EF，若BE=1，EF=5，则线段AF的长为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延长ED到M使DM=DE，连接AM，过F作FN⊥MA交MA的延长于N推出△AMD≌△BED，根据全等三角形的性质得到DM=DE，∠MAD=∠B，AM=BE=1，根据线段垂直平分线的性质得到MF=EF=5，由平行线的性质得到∠NAF=∠C=45°，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：延长ED到M使DM=DE，连接AM，过F作FN⊥MA交MA的延长于N，
∵D是AB边的中点，
∴BD=AD，
在△AMD与△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADM=∠BDE}\\{DM=DE}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△BED，
∴DM=DE，∠MAD=∠B，AM=BE=1，
∴AM∥BC，
∵DE⊥DF，
∴MF=EF=5，
∵AM∥BC，
∴∠NAF=∠C=45°，
∴AN=NF，
∴NM²+NF²=MF²，
即（1+AN）²+AN²=5²，
∴AN=3，
∴AF=$\sqrt{2}$AN=3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．