Question

13．如图，△ABC是边长为2$\sqrt{3}$的等边三角形，AD⊥BC于点D，以AD的中点O为圆心作一个半径为0.75的⊙O，问：⊙O与△ABC的各边有何位置关系？请说明理由．

Answer 1

分析 作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，由等边三角形的性质得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，得出AD=$\sqrt{3}$BD=3，求出OA，由含30°角的直角三角形的性质得出OE=OF=0.75，得出⊙O与AB、AC相切，由OD＞0.75，得出⊙O与BC相离．

解答 解：⊙O与AB、AC相切，⊙O与BC相离；理由如下：
作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴AD=$\sqrt{3}$BD=3，
∵O为AD的中点，
∴OA═OD=$\frac{1}{2}$AD=1.5，
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$OA=0.75，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴⊙O与AB、AC相切；
∵OD＞0.75，
∴⊙O与BC相离．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系的判定方法、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质定理；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键．