【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D为边CB上的一个动点(点D不与点B重合),过D作DO⊥AB,垂足为O,点B′在边AB上,且与点B关于直线DO对称,连接DB′,AD.
(1)求证:△DOB∽△ACB;
(2)若AD平分∠CAB,求线段BD的长;
(3)当△AB′D为等腰三角形时,求线段BD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)5;(3)
【解析】试题分析:(1)公共角和直角两个角相等,所以相似.(2)由(1)可得三角形相似比,设BD=x,CD,BD,BO用x表示出来,所以可得BD长.(3)同(2)原理,BD=B′D=x,
AB′,B′O,BO用x表示,利用等腰三角形求BD长.
试题解析:
(1)证明:∵DO⊥AB,∴∠DOB=90°,
∴∠ACB=∠DOB=90°,
又∵∠B=∠B.∴△DOB∽△ACB.
(2)∵AD 平分∠CAB,DC⊥AC,DO⊥AB,
∴DO=DC,
在 Rt△ABC 中,AC=6,BC=,8,∴AB=10,
∵△DOB∽△ACB,
∴DO∶BO∶BD=AC∶BC∶AB=3∶4∶5,
设BD=x,则DO=DC=x,BO=x,
∵CD+BD=8,∴ x+x=8,解得x=,5,即:BD=5.
(3)∵点B 与点B′关于直线DO 对称,∴∠B=∠OB′D,
BO=B′O=x,BD=B′D=x,
∵∠B 为锐角,∴∠OB′D 也为锐角,∴∠AB′D 为钝角,
∴当△AB′D 是等腰三角形时,AB′=DB′,
∵AB′+B′O+BO=10,
∴x+x+x=10,解得x=,即BD=,
∴当△AB′D 为等腰三角形时,BD=.
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【题目】如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,BC=10.
(1)若∠ABC=50°,∠ACB=60°,求∠EMF的度数;
(2)若EF=4,求△MEF的面积.
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【题目】某学校为了庆祝校园艺术节,准备购买一批盆花布置校园.已知1盆A种花和2盆B种花一共需13元,2盆A种花和1盆B种花一共需11元.
(1)求1盆A种花和1盒B种花的售价各是多少元?
(2)学校准备购进这两种盆花共100盆,并且A种盆花的数量不超过B种盆花数量的2倍,请求出A种盆花的数量最多是多少?
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=CB=2,以BC为边向外作正方形BCDE,动点M从A点出发,以每秒1个单位的速度沿着A→C→D的路线向D点匀速运动(M不与A、D重合);过点M作直线l⊥AD,l与路线A→B→D相交于N,设运动时间为t秒:
(1)填空:当点M在AC上时,BN= (用含t的代数式表示);
(2)当点M在CD上时(含点C),是否存在点M,使△DEN为等腰三角形?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)过点N作NF⊥ED,垂足为F,矩形MDFN与△ABD重叠部分的面积为S,求S的最大值.
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【题目】某服装店用6000元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利润=售价-进价).这两种服装的进价,标价如表所示.
(1)求这两种服装各购进的件数;
(2)如果A种服装按标价的8折出售,B种服装按标价的7折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按标价出售少收入多少元?
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【题目】如图,在△ABC中,D是BC边的中点,分别过点B、C作射线AD的垂线,垂足分别为E、F,连接BF、CE.
(1)求证:四边形BECF是平行四边形;
(2)若AF=FD,在不添加辅助线的条件下,直接写出与△ABD面积相等的所有三角形.
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【题目】有四个三角形,分别满足下列条件:(1)一个角等于另外两个内角之和;(2)三个内角之比为3:4:5;(3)三边之比为5:12:13;(4)三边长分别为5,24,25.其中直角三角形有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=90°,P是BC上一点,且DB=DC,过BC上一点P,作PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,已知:AD:DB=1:3,BC=,则PE+PF的长是( )
A. B. 6C. D.
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【题目】在等边中,,点为的中点,点是边上一动点,,且的两边分别与的边,交于点,(点不与点,重合).
()当时,请在图中补全图形.
()在图中,设的长为,的长为,求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
()如图,点,分别为,的中点,在上截取,连接,.请证明.
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