Question

【题目】（10分）如图①，在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD为∠BAC的角平分线，

求证：AB=AC+CD

小明同学经过思考，得到如下解题思路：

在AB上截取AE=AC，连接DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证AB=AC+CD

（1）请你根据以上解思路写出证明过程；

（2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，

∠D=25°，其他条件不变，求∠B的度数。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）50°

【解析】试题分析：先根据“SAS”证明△ADE≌△ADC,从而DE=DC, ∠AED=∠ACB,再由外角的性质可得∠B=∠BDE,从而BE=CD，然后利用等量代换证明结论；（2）利用外角的性质和角平分线的定义得到∠CAD= ，然后根据三角形内角和列方程求解.

解：（1）∵AD为∠BAC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD.

在△ADE和△ADC中，

∵AC=AE,

∠BAD=∠CAD,

AD=AD,

∴△ADE≌△ADC,

∴DE=DC, ∠AED=∠ACB,

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠AED=∠B+∠BDE,

∴∠B=∠BDE,

∴BE=DE,

∴BE=CD.

∵AB=AE+BE,

∴AB=AC+CD.

(2)∵AD为∠BAC的角平分线，

∴∠CAD= .

∵∠ACB=2∠B，

∴∠CAE=∠ACB+∠B=3∠B, ∠BAC=180°-3∠B,

∴∠CAD= .

∴ ,

解之得

∠B=50°.