Question

9．已知二次函数y=x²-2x+c．若点A（-1，n）、B（3，2n-2）在此二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如果二次函数y=x²-2x+c的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q（其中p＜q）时，有p≤y≤q，求p，q的值．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，n）、B（3，2n-2）代入，利用待定系数法即可求得．
（2）因为y=x²-2x-1=（x-1）²-2所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-2，且当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大．由于p＜q，所以分两种情况进行讨论：①p＜1＜q②p≥1．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²-2x+c．点A（-1，n）、B（3，2n-2）在此二次函数的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=1+2+c}\\{2n-2=9-6+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-1，
（2）∵二次函数的解析式为y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-2，且当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大．
①当p＜1＜q时，此时二次函数y=（x-1）²-2，的最小值是-2=P，
∴q=p²-2p-1或q=q²-2q-1；
Ⅰ）当q=p²-2p-1时，由于q=（-2）²-2×（-2）-1=7＞1，符合题意；
Ⅱ）当q=q²-2q-1时，解得q=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$，
由于q＞1，
所以q=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$；
②当p≥1时，此二次函数y随x的增大而增大，则$\left\{\begin{array}{l}{{p}^{2}-2p-1=p}\\{{q}^{2}-2q-1=q}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{3+\sqrt{13}}{2}}\\{q=\frac{3+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$，
∵p＜q，
∴不合题意，舍去．
综上所述，p为-2，q的值为7或$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性．解题的关键是弄清楚自变量x与函数值y的对应关系．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．