Question

13．我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂足三角形．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则该三角形的垂足三角形的周长是（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． $\frac{192}{25}$
• D． $\frac{112}{25}$

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DF与BC的关系，DE与BC的关系，根据相似三角形的性质，可得EF的长，根据三角形的周长，可得答案．

解答 解：AD⊥BC，CE⊥AB，BF⊥AC，
BD=CD，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC=3，DE=$\frac{1}{2}$BC=3，
设AE=x，由勾股定理得
AB²-AF²=BC²-CF²
5²-x²=6²-（5-x）²，
x=$\frac{7}{5}$，
∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$，即$\frac{\frac{7}{5}}{5}$=$\frac{EF}{6}$，
解得EF=$\frac{42}{25}$，
∴该三角形的垂足三角形的周长是：3+3+$\frac{42}{25}$=$\frac{192}{25}$．
故选：C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．