Question

18．如图，已知AD是⊙O的直径，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求⊙O的半径长和sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=4，∠AEB=90°，在Rt△OEB中，由勾股定理得出r²=4²+（r-2）²，求出r．求出AE，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，解直角三角形求出即可．

解答 解：设⊙O的半径为r，
∵直径AD⊥BC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×8$=4，∠AEB=90°，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB²=0E²+BE²，即r²=4²+（r-2）²，
解得：r=5，
即⊙O的半径长为5，
∴AE=5+3=8，
∵在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴sin∠BAD=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形的应用，能根据垂径定理求出BE是解此题的关键．