Question

7．如图，边长为2的等边三角形ABC，点A，B分别在y轴和x轴正半轴滑动，则原点O到C的最长距离（　　）

• A． $\sqrt{3}-1$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 由题意得到当OA=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形时，OC最大，画出相应的图形，连接OC，交AB与点D，由对称性得到OC垂直于AB，利用三线合一得到D为AB的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半表示出OD的长，在直角三角形BCD中，利用勾股定理表示出CD的长，由OD+DC即可求出OC的长．

解答 解：取AB的中点D，连接OD，CD，
在△OCD中，OC＜OD+CD，
只有当O，D，C三点在一条线上时，OC=OD+CD，此时OC最大，如图所示，OC⊥AB，
∵△AOB为等腰直角三角形，AB=2，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=1，
在Rt△BCD中，BC=2，BD=1，
根据勾股定理得：CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{3}$+1．
故选：D．

点评 此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的性质，以及勾股定理的应用，熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解本题的关键．