Question

2．如图，已知点A、B、C的坐标分别A（1，6）、B（1，0）、C（5，0）．若点P在∠ABC的平分线上，且PA=PC，则点P的坐标为（6，5）．

Answer 1

分析 PA=PC，则P在线段AC的中垂线上，则∠ABC的角平分线和线段AC的中垂线的交点就是点P，求得线段AC的中垂线和∠ABC的平分线的解析式，解两个解析式组成的方程组即可求得P的坐标．

解答 解：设AC的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
则直线AC的解析式是y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$；
则设AC的垂直平分线的解析式是y=$\frac{2}{3}$x+c，
AC的中点是（3，3），则3=2+c，
解得c=1，
则线段AC的垂直平分线的解析式是y=$\frac{2}{3}$x+1．
∠ABC的角平分线一定过点B（1，0）和（2，1）．
设角平分线的解析式是y=mx+n，则$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
则∠ABC的平分线的解析式是y=x-1．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=5}\end{array}\right.$，
则∠ABC的角平分线和线段AC的中垂线的交点是（6，5）．即P的坐标是（6，5）．
故答案是（6，5）．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质以及角的平分线的性质，理解P在AC的垂直平分线上是关键．