Question

14．如图，点C，D是半圆O的三等分点，直径AB=4$\sqrt{3}$．连结AC交半径OD于E，则线段DE，CE以及$\widehat{DC}$围成的封闭图形（即阴影部分）的面积是2π-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 连接OC，由点C，D是半圆O的三等分点，得到$\widehat{AD}=\widehat{CD}=\widehat{CB}$，根据垂径定理得到OD⊥AC，∠DOC=60°，求得OE=$\sqrt{3}$，CE=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：连接OC，
∵点C，D是半圆O的三等分点，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}=\widehat{CB}$，
∴OD⊥AC，∠DOC=60°，
∴∠OCE=30°，
∵AB=4$\sqrt{3}$，
∴OC=2$\sqrt{3}$
∴OE=$\sqrt{3}$，CE=6，
∴S_阴影=S_扇形COD-S_△OCE=$\frac{60•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}×6\sqrt{3}$=2$π-\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：2$π-\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．