Question

等腰△ABC中，AB=AC，AH⊥BC于H，D是底边上任意一点，过D作BC的垂线交AC于M，交BA的延长线于N，求证：DM+DN=2AH．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：如图，过点A作AF⊥DN，交MN于F．构建矩形AHDF，则AH=DM+MF=FN+DM．所以只需根据等腰三角形的性质、等角的余角相等以及对顶角相等来推知点F是MN的中点即可．

解答：解：如图，过点A作AF⊥DN，交MN于F．
∵AH⊥BC，DN⊥BC，
∴四边形AHDF是长方形，
∴AH=DM+MF=FN+DM．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠N=∠CMD（等角的余角相等）．
∵∠CMD=∠AMN，
∴∠N=∠AMN，
∴AN=AM，
∵AF⊥MN．
∴F是MN的中点，
∴FN=FM，
∴2AH=DM+MF+FN+DM=DM+DN．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及垂直的定义，熟记等边对等角和等角对等边是解题的关键．