Question

在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．

（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．

 

Answer 1

（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，

∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，

∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，

∴OC=OD，

∴OC′=OD′，

在△AOC′和△BOD′中，，

∴△AOC′≌△BOD′（SAS），

∴AC′=BD′；

②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：

∵△AOC′≌△BOD′，

∴∠OAC′=∠OBD′，

又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，

∴∠OBD′+∠BFE=90°，

∴∠BEA=90°，

∴AC′⊥BD′；

（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：

∵△OCD旋转到△OC′D′，

∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，

∵CD∥AB，

∴，

∴，

∴，

又∠AOC′=∠BOD′，

∴△AOC′∽△BOD′，

∴∠OAC′=∠OBD′，

又∠AFO=∠BFE，

∴∠AEB=∠AOB=θ．