【题目】如图,已知直线y=x+2交x轴、y轴分别于点A、B,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣,且抛物线经过A、B两点,交x轴于另一点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是抛物线x轴上方一点,∠MBA=∠CBO,求点M的坐标;
(3)过点A作AB的垂线交y轴于点D,平移直线AD交抛物线于点E、F两点,连结EO、FO.若△EFO为以EF为斜边的直角三角形,求平移后的直线的解析式.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+2.(2)M(﹣,
).(3)平移后的解析式为y=﹣x﹣1+
或y=﹣x﹣1﹣
.
【解析】
(1)利用待定系数法即可解决问题;
(2)如图1中,作EA⊥AB交BM的延长线于E,作EF⊥x轴于F.求出点E坐标,再求出直线BE的解析式,利用方程组即可解决问题;
(3)如图2中,当直线AD向下平移时,设E(x1,y1),F(x2,y2),作EH⊥x轴于H,FG⊥x轴于G.利用相似三角形的性质以及根与系数关系构建方程组即可解决问题;
(1)∵直线y=x+2交x轴、y轴分别于点A、B,
∴A(﹣2,0),B(0,2),
∵抛物线的对称轴x=﹣,A,C关于对称轴对称,
∴C(1,0),
设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x﹣1),把(0,2)代入得到a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2.
(2)如图1中,作EA⊥AB交BM的延长线于E,作EF⊥x轴于F.
∵∠ABE=∠OBC,∠BAE=∠BOC=90°,
∴△BAE∽△BOC,
∴,
∴,
∴AE=,
∵∠EAF+∠BAO=90°,∠BAO=45°,
∴∠EAF=45°,
∴EF=AF=1,
∴E(3,1),
∴直线BE的解析式为y=﹣x+2,
由,解得
或
,
∴M(-,
).
(3)如图2中,当直线AD向下平移时,设E(x1,y1),F(x2,y2),作EH⊥x轴于H,FG⊥x轴于G.
∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF,
由△EHO∽△OGF得到:
,
∴,
∴x1x2+y1y2=0,
由,消去y得到:x2+b-2=0,
∴x1x2=b-2,x1+x2=0,y1y2=(-x1+b)(-x2+b)=x1x2+b2,
∴2(b-2)+b2=0,
解得b=-1-或-1+
(舍弃),
当直线AD向上平移时,同法可得b=-1+,
综上所述,平移后的解析式为y=-x-1+或y=-x-1-
.
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【题目】如图,A信封中装有两张卡片,卡片上分别写着4cm、2cm,B信封中装有三张卡片,卡片上分别写着3cm、5cm、2cm.A、B信封外有一张写着5cm的卡片,所有卡片的形状、大小完全相同,现随机从两个信封中各取一张卡片,与信封外的卡片放在一起,用卡片上标明的数分别作为三条线段的长度.
(1)求这三条线段能组成三角形的概率(列举法、列表法或树形图法);
(2)求这三条线段能组成直角三角形的概率.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k2=0(k为常数).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设x1,x2为方程的两个实数根,且x1+2x2=7,试求出方程的两个实数根和k的值.
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【题目】如图,在△ABC中,已知∠C=90°,sin∠A=,点D为边AC上一点,若∠BDC=45°,DC=6cm,则△ABC的面积等于 ________cm2.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a;
③若y2>y1,则x2>4;
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,延长DC交AB的延长线于点E .
(1)若∠ADC=86°,求∠CBE的度数;
(2)若AC=EC,求证:AD=BE.
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【题目】如图是由一些棱长为1的小立方块所搭几何体的三种视图.若在所搭几何体的基础上(不改变原几何体中小立方块的位置),继续添加相同的小立方块,以搭成一个长方体,至少还需要________个小立方块.最终搭成的长方体的表面积是________.
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【题目】(9分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°,求大树的高度. (结果保留整数,参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,≈1.73)
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【题目】对于某一个函数,自变量x在规定的范围内,若任意取两个值x1和x2,它们的对应函数值分别为y1和y2. 若x2>x1时,有y2>y1,则称该函数单调递增;若x2>x1时,有y2<y1,则称该函数单调递减.例如二次函数y=x2,在x≥0时,该函数单调递增;在x≤0时,该函数单调递减.
(1)二次函数:y=(x+1)2+2自变量x在哪个范围内,该函数单调递减?
(2)证明:函数:y=x﹣在x>1的函数范围内,该函数单调递增.
(3)若存在两个关于x的一次函数,分别记为:g=k1x+b1和h=k2x+b2,且函数g在实数范围内单调递增,函数h在实数范围内单调递减.记第三个一次函数y=g+h,则比例系数k1和k2满足何种条件时,函数y在实数范围内单调递增?
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