Question

7．如图，四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，以AB为直径的⊙O与边CD切于点E，与BC交于点F．
（1）求证：AD+BC=AB；
（2）若AD=1，CD=4，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）连结OE，如图，根据切线的性质得OE⊥CD，再证明OE为梯形ABCD的中位线得到OE=$\frac{1}{2}$（AD+BC），所以AD+BC=AB；
（2）连结AF，如图，根据圆周角定理得到∠AFB=90°，则AF∥CD，易得四边形AGED为矩形，则GE=AD=1，AG=DE=$\frac{1}{2}$CD=2，设⊙O的半径为r，则OG=r-1，OA=r，然后在Rt△AOG中利用勾股得到2²+（r-1）²=r²，再解方程求出r即可．

解答 （1）证明：连结OE，如图，
∵⊙O与边CD切于点E，
∴OE⊥CD，
∵∠C=∠D=90°，
∴OE∥AD∥BC，
∵点O为AB的中点，
∴OE为梯形ABCD的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴AD+BC=AB；
（2）解：连结AF，如图，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∵∠C=90°，
∴AF∥CD，
∴四边形AGED为矩形，
∴GE=AD=1，AG=DE=$\frac{1}{2}$CD=2，
设⊙O的半径为r，则OG=r-1，OA=r，
在Rt△AOG中，2²+（r-1）²=r²，解得r=$\frac{5}{2}$，
即⊙O的半径长为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．