Question

【题目】已知，如图，四边形中，，是中点，平分.连接．

(1)是否平分？请证明你的结论；

(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AM平分∠BAD，理由见详解；（2）AM⊥DM，理由见详解.

【解析】

（1）由题意过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME=MC，再求出ME=MB，从而证明AM平分∠BAD；

（2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得∠1+∠3=90°，从而求证两直线垂直．

解：（1）AM平分∠BAD，理由为：

证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，

∵DM平分∠ADC，

∴∠1=∠2，

∵MC⊥CD，ME⊥AD，

∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），

又∵是中点，MC=MB，

∴ME=MB，

∵MB⊥AB，ME⊥AD，

∴AM平分∠BAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

（2）AM⊥DM，理由如下：

∵∠B=∠C=90°，

∴DC⊥CB，AB⊥CB，

∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），

∴∠CDA+∠DAB=180°（两直线平行，同旁内角互补），

又∵∠1=∠CDA，∠3=∠DAB（角平分线定义），

∴2∠1+2∠3=180°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠AMD=90°，即AM⊥DM．