Question

【题目】李老师给爱好学习的小兵和小鹏提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小兵的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

小鹏的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，先证△GPC≌△ECP，可得：PE=CG，而PD=GF，则PD+PE=CF．

请运用上述中所证明的结论和证明思路完成下列两题：

（1）如图3，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=16，CF=6，求PG+PH的值；

（2）如图4，P是边长为6的等边三角形ABC内任一点，且PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，求PD+PE+PF的值．

Answer 1

【答案】（1）C'B=AB=EQ=8；（2）3．

【解析】

（1）将三角形BEF的面积分别用BF（PG+PH）和BFEQ表示，然后求出面积，转化线段之间的关系即可得出答案.

(2)求出三角形ABC的面积，再根据三角形ABC的面积=三个四三角形的面积和进行转化即可得出答案.

解：（1）如图3，过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP，

∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC，

由折叠可得，∠DEF=∠BEF，

∴∠BFE=∠BEF，

∴BE=BF，

∵PG⊥BE、PH⊥BC，

∴S△BEF=S△BEP+S△BFP=BEPG+BFPH=BF（PG+PH），

∵S△BEF=BFEQ，

∴PG+PH=EQ，

∵四边形ABCD是长方形，

∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．

∵AD=16，CF=6，

∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=10．

DF=BF=10，CF=6,

即根据勾股定理得DC=8

S△BEF=BFEQ=BF·DC=40

即BF（PG+PH）=40

所以PG+PH=8

（2）过A作AM⊥BC，连接PA，PB，PC，如图4所示：

∵△ABC为等边三角形的边长为6，AM⊥BC，

∴M为BC的中点，即BM=CM=3，

在Rt△ABM中，AB=6，BM=3，

根据勾股定理得：AM=3

又∵S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP

=PEBC+PFAC+PDAB=AB（PE+PF+PD）=BCAM，

∴（PE+PF+PD）=AM=3．