Question

【题目】△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠A＝60°，点D在AC上，连接BD作等边三角形BDE，连接OE．

(1)如图1，求证：OE＝AD；

(2)如图2，连接CE，求证：∠OCE＝∠ABD；

(3)如图3，在(2)的条件下，延长EO交⊙O于点G，在OG上取点F，使OF＝2OE，延长BD到点M使BD＝DM，连接MF，若tan∠BMF＝，OD＝3，求线段CE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CE＝．

【解析】

(1)连接OB，证明△ABD≌△OBE，即可证出OE＝AD．

(2)连接OB，证明△OCE≌△OBE，则∠OCE＝∠OBE，由(1)的全等可知∠ABD＝∠OBE，则∠OCE＝∠ABD．

(3)过点M作AB的平行线交AC于点Q，过点D作DN垂直EG于点N，则△ADB≌△MQD，四边形MQOG为平行四边形，∠DMF＝∠EDN，再结合特殊角度和已知的线段长度求出CE的长度即可．

解：(1)如图1所示，连接OB，

∵∠A＝60°，OA＝OB，

∴△AOB为等边三角形，

∴OA＝OB＝AB，∠A＝∠ABO＝∠AOB＝60°，

∵△DBE为等边三角形，

∴DB＝DE＝BE，∠DBE＝∠BDE＝∠DEB＝60°，

∴∠ABD＝∠OBE，

∴△ADB≌△OBE(SAS)，

∴OE＝AD；

(2)如图2所示，

由(1)可知△ADB≌△OBE，

∴∠BOE＝∠A＝60°，∠ABD＝∠OBE，

∵∠BOA＝60°，

∴∠EOC＝∠BOE =60°，

又∵OB=OC，OE=OE，

∴△BOE≌△COE(SAS)，

∴∠OCE＝∠OBE，

∴∠OCE＝∠ABD；

(3)如图3所示，过点M作AB的平行线交AC于点Q，过点D作DN垂直EG于点N，

∵BD＝DM，∠ADB＝∠QDM，∠QMD＝∠ABD，

∴△ADB≌△MQD(ASA)，

∴AB＝MQ，

∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝30°，

∴AB＝＝AO＝CO＝OG，

∴MQ＝OG，

∵AB∥GO，

∴MQ∥GO，

∴四边形MQOG为平行四边形，

设AD为x，则OE＝x，OF＝2x，

∵OD＝3，

∴OA＝OG＝3+x，GF＝3﹣x，

∵DQ＝AD＝x，

∴OQ＝MG＝3﹣x，

∴MG＝GF，

∵∠DOG＝60°，

∴∠MGF＝120°，

∴∠GMF＝∠GFM＝30°，

∵∠QMD＝∠ABD＝∠ODE，∠ODN＝30°，

∴∠DMF＝∠EDN，

∵OD＝3，

∴ON＝，DN＝，

∵tan∠BMF＝，

∴tan∠NDE＝，

∴ ，

解得x＝1，

∴NE＝，

∴DE＝，

∴CE＝．

故答案为(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CE＝．