【题目】问题探究:
①新知学习
若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”,其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”(例如圆的直径就是圆的“面径”).
②解决问题
已知等边三角形ABC的边长为2.
(1)如图一,若AD⊥BC,垂足为D,试说明AD是△ABC的一条面径,并求AD的长;
(2)如图二,若ME∥BC,且ME是△ABC的一条面径,求面径ME的长;
(3)如图三,已知D为BC的中点,连接AD,M为AB上的一点(0<AM<1),E是DC上的一点,连接ME,ME与AD交于点O,且S△MOA=S△DOE .
①求证:ME是△ABC的面径;
②连接AE,求证:MD∥AE;
(4)请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围(直接写出结果)
【答案】
(1)
解:如图一中,
∵AB=AC=BC=2,AD⊥BC,
∴BD=DC,
∴S△ABD=S△ADC,
∴线段AD是△ABC的面径.
∵∠B=60°,
∴sin60°= ,
∴ = ,
∴AD= .
(2)
解:如图二中,
∵ME∥BC,且ME是△ABC的一条面径,
∴△AME∽△ABC, = ,
∴ = ,
∴ME= .
(3)
解:如图三中,作MN⊥AE于N,DF⊥AE于F.
∵S△MOA=S△DOE,
∴S△AEM=S△AED,
∴ AEMN= AEDF,
∴MN=DF,
∵MN∥DF,
∴四边形MNFD是平行四边形,
∴DM∥AE.
(4)
解:如图四中,作MF⊥BC于F,设BM=x,BE=y,
∵DM∥AE,
∴ ,
∴ ,
∴xy=2,
在RT△MBF中,∵∠MFB=90°,∠B=60°,BM=x,
∴BF= x,MF= x,
∴ME= = = ≥ ,
∴ME≥ ,
∵ME是等边三角形面径,AD也是等边三角形面积径,
∴等边三角形ABC的面径长l的取值范围 ≤l≤
【解析】(1)根据等腰三角形三线合一即可证明,利用直角三角形30°性质,即可求出AD.(2)根据相似三角形性质面积比等于相似比的平方,即可解决问题.(3)如图三中,作MN⊥AE于N,DF⊥AE于F,先证明MN=DF,推出四边形MNFD是平行四边形即可.(4)如图四中,作MF⊥BC于F,设BM=x,BE=y,求出EM,利用不等式性质证明ME≥ 即可解决问题.本题考查等边三角形的性质、平行线的性质,三角形面积等知识,解题的关键是理解题意,学会条件常用辅助线,记住不等式的性质x2+y2≥2xy,属于中考压轴题.
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【题目】将一块正方形和一块等腰直角三角形如图1摆放.
(1)如果把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°,得到图2,则∠GBM=;
(2)将△BEF绕点B旋转.
①当M,N分别在AD,CD上(不与A,D,C重合)时,线段AM,MN,NC之间有一个不变的相等关系式,请你写出这个关系式:;(不用证明)
②当点M在AD的延长线上,点N在DC的延长线时(如图3),①中的关系式是否仍然成立?若成立,写出你的结论,并说明理由;若不成立,写出你认为成立的结论,并说明理由.
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【题目】甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同,销售价格也相同.“五一期间”,两家均推出了优惠方案,甲采摘园的优惠方案是:游客进园需购买50元的门票,采摘的草莓六折优惠;乙采摘园的优惠方案是:游客进园不需购买门票,采摘园的草莓超过一定数量后,超过部分打折优惠.优惠期间,设某游客的草莓采摘量为x(千克),在甲采摘园所需总费用为y1(元),在乙采摘园所需总费用为y2(元),图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系.
(1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克元;
(2)求y1、y2与x的函数表达式;
(3)在图中画出y1与x的函数图象,并写出选择甲采摘园所需总费用较少时,草莓采摘量x的范围.
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【题目】Pn表示n边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点),如果这些交点都不重合,那么Pn与n的关系式是:Pn= (n2﹣an+b)(其中a,b是常数,n≥4)
(1)通过画图,可得:四边形时,P4= ;五边形时,P5=
(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数,结合关系式,求a,b的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系网格中,将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1 .
(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)设点P(a,b)为△ABC内一点,则依上述两次变换后,点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 .
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【题目】已知直线y=﹣2x+4与平面直角坐标系中的x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使得点C与原点O在AB两侧,则点C的坐标为_____.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为2cm,动点P从点A出发,在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止,设点P的运动路程为x(cm),在下列图象中,能表示△ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】自来水公司调查了若干用户的月用水量x(单位:吨),按月用水量将用户分成A、B、C、D、E五组进行统计,并制作了如图所示的扇形统计图.已知除B组以外,参与调查的用户共64户,则所有参与调查的用户中月用水量在6吨以下的共有( )
组别 | 月用水量x(单位:吨) |
A | 0≤x<3 |
B | 3≤x<6 |
C | 6≤x<9 |
D | 9≤x<12 |
E | x≥12 |
A.18户
B.20户
C.22户
D.24户
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