Question

13．已知关于x的二次函数y=mx²-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴的两交点的距离为2，且开口向上．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当直线y=x+b与（1）中的图象只有两个交点时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设抛物线与x轴两交点的横坐标为x₁，x₂，则两交点之间距离为|x₁-x₂|=2，再与根与系数关系的等式结合变形，可求m的值，从而确定抛物线的解析式；
（2）根据图象有两个交点，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案．

解答 解：（1）设x₁，x₂为抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标，
则有x₁+x₂=$\frac{3m-1}{m}$，x₁•x₂=$\frac{2m-2}{m}$
由|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{3m-1}{m}）^{2}-\frac{4（2m-2）}{m}}$=$\sqrt{\frac{（m+1）^{2}}{{m}^{2}}}$=|$\frac{m+1}{m}$|，
由|x₁-x₂|=2，且开口向上，得
$\frac{m+1}{m}$=2，
∴m=1
∴所求抛物线的解析式为：y₁=x²-2x；
（2）联立抛物线与直线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，
消元，得
x²-3x-b=0，△=9+4b＞0，
解得b＞-$\frac{9}{4}$，
当b＞-$\frac{9}{4}$时，直线y=x+b与（1）中的图象只有两个交点．

点评 本题考查了抛物线与x轴得交点，具有较强的综合性，利用了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系．