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【题目】如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ.

(1)、如图a,求证:BCP≌△DCQ;

(2)、如图,延长BP交直线DQ于点E.

如图b,求证:BEDQ;

如图c,若BCP为等边三角形,判断DEP的形状,并说明理由.

【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、、证明过程见解析;、等腰直角三角形,证明过程见解析.

【解析】

试题分析:(1)、根据正方形性质得出BC=DC,根据旋转图形的性质得出CP=CQ以及PCB=QCD,从而得出三角形全等;(2)、、根据全等得出PBC=QBC,设BE和CD交点为M,根据对顶角得出DME=BMC,从而说明BEQD;、根据等边三角形的性质得出PB=PC=BC,PBC=BPC=PCB=60°,则PCD=30°,根据BC=DC,CP=CQ得出PCD为等腰三角形,然后根据DCQ为等边三角形,从而得出DEP=90°,从而得出答案.

试题解析:(1)、四边形ABCD是正方形,BC=DC

将线段CP绕点C顺时针旋90°得到线段CQ,CP=CQ,PCQ=90°∴∠PCD+QCD=90°

∵∠PCB+PCD=90° ∴∠PCB=QCD

BCP和DCQ中 BC=DC,CP=CQ,PCB=QCD ∴△BCP≌△DCQ

(2)、①∵△BCP≌△DCQ ∴∠PBC=QBC

设BE和CD交点为M ∴∠DME=BMC MED=MCB=90°∴BEQD

②△DEP为等腰直角三角形,

∵△BOP为等边三角形 PB=PC=BC PBC=BPC=PCB=60°

∴∠PCD=90°-60°=30°∴∠DCQ=90°-60°=30°

BC=DC CP=CQPC=DC DC=CQ ∴△PCD是等腰三角形

DCQ是等边三角形 ∴∠CPD=CDP=75°∠CDQ=60°∴∠EPD=180°-15°-60°=45°

EDP=180°-75°-60°=45 °∴∠EPD=EDP PE=DE ∴∠DEP=180°-45°-45°=90°

∴△DEP是等腰直角三形

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