【题目】如图,AB为半圆O在直径,AD,BC分别切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E,连接OD,OC,下列结论:①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③S△AOD:S△BOC=AD2:AO2 , ④OD:OC=DE:EC,⑤OD2=DECD,正确的有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【答案】C
【解析】解:连接OE,如图所示:
∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,
∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC,
∴CD=DE+EC=AD+BC,选项②正确;
在Rt△ADO和Rt△EDO中, ,
∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL),
∴∠AOD=∠EOD,
同理Rt△CEO≌Rt△CBO,
∴∠EOC=∠BOC,
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,
∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°,选项①正确;
∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC,
∴△EDO∽△ODC,
∴ = ,即OD2=DCDE,选项⑤正确;
∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°,
∠A=∠B=90°,
∴△AOD∽△BOC,
∴ = = = ,选项③正确;
同理△ODE∽△OEC,
∴ ,选项④错误;
故选C.
连接OE,由AD,DC,BC都为圆的切线,根据切线的性质得到三个角为直角,且利用切线长定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代换可得出CD=AD+BC,选项②正确;由AD=ED,OD为公共边,利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而这四个角之和为平角,可得出∠DOC为直角,选项①正确;由∠DOC与∠DEO都为直角,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似,可得出三角形DEO与三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DECD,选项⑤正确;由△AOD∽△BOC,可得 = = = ,选项③正确;由△ODE∽△OEC,可得 ,选项④错误.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
①求证:△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
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【题目】我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解.并规定:F(n)= . 例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12﹣1>6﹣2>4﹣3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)= .
(Ⅰ)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方,我们称正整数m是完全平方数.
求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;
(Ⅱ)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”;
(Ⅲ)在(2)所得“吉祥数”中,求F(t)的最大值.
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【题目】如图,在ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=,对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于E,F.
(1)求BD的长;
(2)当旋转角∠AOF=________° 时,△AOF与△BOE的面积相等?请写出理由.
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【题目】设二次函数y1=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0,x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象交于点(x1 , 0),若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点,则( )
A.a(x1﹣x2)=d
B.a(x2﹣x1)=d
C.a(x1﹣x2)2=d
D.a(x1+x2)2=d
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【题目】观察下列等式:
第1个等式:
第2个等式:
第3等式:
第4个等式:
请解答下列问题:
(1)按以上规律写出第5个等式:a5= = .
(2)用含n的式子表示第n个等式:an= = (n为正整数).
(3)求a1+a2+a3+a4+…+a2018的值.
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【题目】如图,平面直角坐标系中有等边△AOB,点O为坐标原点,OB=2,平行于x轴且与x轴的距离为1的线段CD分别交y轴、AB于点C,D.若线段CD上点P与△AOB的某一顶点的距离为,则线段PC(PC<2.5)的长为____________.
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【题目】如图,方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形,若学校位置坐标为A(1,2),解答以下问题:
(1)请在图中建立适当的直角坐标系,并写出图书馆B位置的坐标;
(2)若体育馆位置坐标为C(-3,3),请在坐标系中标出体育馆的位置,并顺次连接学校、图书馆、体育馆,得到△ABC,求△ABC的面积.
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