Question

【题目】探究：如图①， 在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,AE⊥CD于点E．若AE=10,求四边形ABCD的面积.

应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,AE⊥BC于点E.若AE=19，BC=10,CD=6,则四边形ABCD的面积为 .

Answer 1

【答案】100；152.

【解析】整体分析：

探究：过点A作AF⊥CB,交CB的延长线于点F，证△AFB≌△AED，得四边形AFCE是正方形；应用，过点A作AG⊥CD的延长线于点G，连接AC，证△ABE≌△ADG，△AEC≌△AGC，求△AEC的面积，四边形ABCD的面积=四边形AECG的面积求解.

解：探究，过点A作AF⊥CB,交CB的延长线于点F.

∵AE⊥CD，∠BCD＝，

∴四边形AFCE为矩形.

∴∠FAE＝.

∴∠FAB＋∠BAE＝.

∵∠EAD＋∠BAE＝，

∴∠FAB＝∠EAD.

∵AB＝AD，∠F＝∠AED＝，

∴△AFB≌△AED.

∴AF＝AE.

∴四边形AFCE为正方形.

∴＝＝＝＝100.

应用，过点A作AG⊥CD的延长线于点G，连接AC，

∴∠AEB=∠AGD=90°，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，

∴∠ABC=∠ADG，

又∵AB=AD，

∴△ABE≌△ADG，

∴AB=AG，BE=DG，

又∵AC=AC，

∴△AEC≌△AGC，

∴CE=CG，

∴BE=BC-CE=BC-CG=BC-CD-DG=BC-CD-BE，

∵BC=10，CD=6，

∴BE=2，∴EC=10-2=8，

∴S△AEC=×CE×AE=×8×19=76.

∴四边形ABCD的面积=四边形AECG的面积=2S△AEC.

∴四边形ABCD的面积=2×76=152.