Question

【题目】如图，已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形， ，连接AE．

（1）如图（1），点D在BC边上，连接AD，ED延长线交AD于点F，若AB=4,求△ADE的面积

（2）如图2，点D在△ABC的内部，点M是AE的中点，连接BD，点N是BD中点，连接MN,NE,求证且.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）证明见详解.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质，即可得到CE=DE=AF=，然后根据面积公式即可得到答案；

（2）如图2中，延长EN至F使NF=NE，连接AF、BF，先证明△DNE≌△BNF，再证明△ABF≌△ACE，推出∠FAB=∠EAC，可得∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，由此即可解决问题．

解：（1）∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，DE=EC，∠B=∠ACB=∠EDC=∠ECD=45°,

∵，

∴AD⊥BC，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AF=，

∵

∴四边形AFEC是矩形，

∴CE=AF=DE=2，

∴；

（2）如图2中，延长EN至F使NF=NE，连接AF、BF．

在△DNE和△BNF中，，

∴△DNE≌△BNF，

∴BF=DE=EC，∠FBN=∠EDN，

∵∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠ACE=90°-∠DCB，

∴∠ABF=∠FBN-∠ABN

=∠BDE-∠ABN

=180°-∠DBC-∠DGB-∠ABN

=180°-∠DBC-∠DCB-∠CDE-∠ABN

=180°-（∠DBC+∠ABN）-∠DCB-45°

=180°-45°-45°-∠DCB=90°-∠DCB=∠ACE，

在△ABF和△ACE中，，

∴△ABF≌△ACE．

∴∠FAB=∠EAC，AE=AF

∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，

∵N为FE中点，M为AE中点，

∴AF∥NM，MN=AF，ME=AE

∴MN⊥AE，MN=ME.

即且.