Question

如图，已知△ABC的面积为16，BC=8．现将△ABC沿直线BC向右平移a（a＜8）个单位到△DEF的位置．

（1）求△ABC的BC边上的高；

（2）连结AE、AD，设AB=5．

①求线段DF的长；

②当△ADE是等腰三角形时，求a的值．

Answer 1

【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平移的性质．

【分析】（1）如图1过点A作AM⊥BC于点M，由三角形的面积公式求得△ABC的BC边上的高是8；

（2）①在R_t△AMB中，由勾股定理求得BM===3，得到CM=BC﹣BM=8﹣3=5，在R_t△AMC中，由勾股定理求得AC===，得到DF=AC=；②如图2当△ADE是等腰三角形时，分三种情况讨论：当AD=DE时，a=5，当AE=DE时，因为AB=DE，得到AB=AE，BE=2BM=6，求得a=6；当AE=AD时，在R_t△AME中，AM=4，AE=a，ME=a﹣3，由勾股定理得：4²+（a﹣3）²=a²，解得：a=，

【解答】解：（1）如图1过点A作AM⊥BC于点M，

∵△ABC的面积为16，BC=8，

∴×8×AM=8，∴AM=4，

∴△ABC的BC边上的高是8；

（2）①在R_t△AMB中，BM===3，

∴CM=BC﹣BM=8﹣3=5，

∴在R_t△AMC中，AC===，

∴DF=AC=，

②如图2当△ADE是等腰三角形时，有三种情况：

 当AD=DE时，a=5，

 当AE=DE时，又∵AB=DE，

∴AB=AE，

∴BE=2BM=6，∴a=6；

当AE=AD时，在R_t△AME中，

AM=4，AE=a，ME=a﹣3，

由勾股定理得：4²+（a﹣3）²=a²，

解得：a=，

综上所述，当△ADE是等腰三角形时，a的值为5或6或．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理得应用，特别是（2）②要分类讨论否则容易漏解．