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【题目】如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=,连接AF并延长交☉O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:①△ADF∽△AED;②FG=3;③tan∠E=;④S△ADF=6.

其中正确结论的个数是(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】分析:①利用垂径定理可知,可知∠ADF=∠AED,结合公共角可证明△ADF∽△AED;②结合CF=2,且,可求得DF=6,且CG=DG,可求得FG=2;③在Rt△AGF中可求得AG,在Rt△AGD中可求得tanADG=,且∠E=∠ADG,可判断出③;④可先求得SADF,再求得△ADF∽△AED的相似比,可求出SADE=7

详解:①∵AB为直径,AB⊥CD,

∴∠ADF=∠AED,且∠FAD=∠DAE,

∴△ADF∽△AED,

∴①正确;

②∵AB为直径,AB⊥CD,

∴CG=DG,

,且CF=2,

∴FD=6,

∴CD=8,

∴CG=4,

∴FG=CG-CF=4-2=2,

∴②错误;

③在Rt△AGF中,AF=3,FG=2,

∴AG=,且DG=4,

∴tan∠ADG=

∵∠E=∠ADG,

∴tan∠E=

∴③错误;

④在Rt△ADG中,AG=,DG=4,

∴AD=

∴△ADF∽△AED中的相似比为

在△ADF中,DF=6,AG=

∴SADF=DFAG=×6×=3

∴SADE=7

∴④错误;

∴正确的有①一个.

故选:A.

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