Question

【题目】如图，已知等边，以边为直径的半圆与边，分别交于点、，过点作于点，

（1）判断与的位置关系，并证明你的结论；

（2）过点作于点，若等边的边长为8，求，的长．

Answer 1

【答案】（1）DF与⊙O相切．理由见解析；（2），．

【解析】

（1）连接OD，如图，易证△ODB是等边三角形，则∠DOB=60°，进而可得∠DOB=∠ACB=60°，于是可得OD∥AC，由可得DO⊥DF，从而可得结论；

（2）连接CD，由CB是⊙O直径可得DC⊥AB，进而可根据等边三角形的性质求得AD的长，然后在Rt△ADF中根据30°角的直角三角形的性质即可求出AF的长，进一步即可求出FC的长，然后在Rt△CFH中根据30°角的性质可得CH的长，最后根据勾股定理即可求出结果．

（1）DF与⊙O相切．

证明：连接OD，如图．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，

∵OD=OB，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠DOB=60°，

∴∠DOB=∠ACB=60°，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴DO⊥DF，

∴DF与⊙O相切；

（2）解：连接CD，

∵CB是⊙O直径，∴DC⊥AB．

又∵AC=CB=AB，

∴D是AB中点，

∴．

在直角△ADF中，∠A=60°，∠AFD=90°，则∠ADF=30°，

∴，

∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6．

∵FH⊥BC，∠C=60°，

∴∠HFC=30°，

∴，

∴．