Question

【题目】问题背景：

如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°．为了探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小红的想法是：在EB的延长线上取一点G，使得BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF；再证明△AGE≌△AFE，从而得到结论，她的结论是_____________.

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由.

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西40°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东80°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/小时的速度各自前进2小时后，在指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，两舰艇与指挥中心之间的夹角为70°，则此时两舰艇之间的距离为______海里．

Answer 1

【答案】问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立；实际应用：240海里.

【解析】

问题背景：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；

探索延伸：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；

结论应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证；

解：问题背景：EF=BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，

∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF；

探索延伸：结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点P．使DP=BE．连结AP，如图2，

在△ABE和△ADP中，

∴△ABE≌△ADP（SAS），
∴AE=AP，∠BAE=∠DAP，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠PAF=∠DAP+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠PAF，
在△AEF和△PAF中，

∴△AEF≌△APF（SAS），
∴EF=FP，
∵FP=DP+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
结论应用：如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB=40°+90°+（90°-80°）=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-40°）+（80°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=2×（50+70）=240海里．
答：此时两舰艇之间的距离是240海；