Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AC=CD，若点E、F分别为边BC、CD上的两点，且∠EAF=∠CAD．

（1）求证：△ADF∽△ACE；

（2）求证：AE=EF．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可得到∠BCA=∠CAB，由等边对等角可得到∠CAD=∠D，根据平行四边形的性质利用SAS可判定△BCA≌△DAC，由全等三角形的性质即可得到∠D=∠ACB，再根据相似三角形的判定得出即可；

（2）由△ADF∽△ACE可得到对应边成比例，已知∠EAF=∠CAD从而可推出△AEF∽△ACD，已知AC=CD，根据对应成比例不难得到结论．

解：（1）∵AC=CD，

∴∠D=∠CAD．

∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，

∴∠D=∠ACB．

∵∠EAF=∠CAD，

∴∠DAF=∠CAE，

∴△ADF∽△ACE；

（2）∵△ADF∽△ACE，

∴，

∵∠EAF=∠CAD，

∴△AEF∽△ACD，

∴，

又∵AC=CD，

∴AE=EF．