Question

【题目】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-6；（2）（，-5）．

【解析】

（1）先求出点A，C的坐标，再将其代入y=x2+bx+c即可；

（2）先确定BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，求出直线BC的解析式，再求出其与对称轴的交点即可；

（1）∵OA=2，OC=6，

∴A（-2，0），C（0，-6），

将A（-2，0），C（0，-6）代入y=x2+bx+c，

得，

解得，b=-1，c=-6，

∴抛物线的解析式为：y=x2-x-6；

（2）在y=x2-x-6中，

对称轴为直线x=，

∵点A与点B关于对称轴x=对称，

∴如图，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，

而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，

在y=x2-x-6中，

当y=0时，x1=-2，x2=3，

∴点B的坐标为（3，0），

设直线BC的解析式为y=kx-6，

将点B（3，0）代入，

得，k=2，

∴直线BC的解析式为y=2x-6，

当x=时，y=-5，

∴点D的坐标为（，-5）．