Question

【题目】如图1：抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当S＝3时，点G为第二象限抛物线上一点，连接PG，CH⊥PG于点H，连接OH，若tan∠OHG＝，求GH的长．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S＝t2+t；（3）GH＝

【解析】

（1）根据解析式得到OC=3，再根据已知条件求出点A、B的坐标即可求出解析式；

（2）根据点A、P的坐标求出直线AP的解析式，得到直线与y轴交点R的坐标，即可求出S与t的函数关系式；

（3）先求出点P的坐标得到CP∥x轴，作CH⊥GP，作HM⊥CP，过点O作ON⊥CH交CH的延长线于点N，分别求出CH、ON、CN，根据tan∠OHG＝求出点H的坐标，根据直线PG求出点G的坐标，即可得到答案.

解：（1）由题意得c＝3，∴OC＝3，

∵tan∠ABC＝1，∴OB＝3，

∵tan∠BAC＝3，∴OA＝1，

∴点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），

则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），

将点C坐标代入上式并解得：a＝﹣1，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）点P（t，﹣t2+2t+3），点A（﹣1，0），

将点P、A坐标代入一次函数表达式y＝kx+b并解得：

直线PA的表达式为：y＝（3﹣t）（x+1），

设直线AP交y轴于点R，则R（0，3﹣t），

S＝CR×（xP﹣xA）＝（3﹣3+t）（t+1）＝t2+t；

（3）S＝t2+t＝3，解得：t＝﹣3（舍去）或2，

∴点P（2，3），

∵点C（0，3），

连接CP，则CP∥x轴，

作CH⊥GP，则∠CPH＝∠OCH＝α，

作HM⊥CP，则∠CHM＝∠HCO＝α，

过点O作ON⊥CH交CH的延长线于点N，

CP＝2，OC＝3，

CH＝CPsinα＝2sinα，ON＝OCsinα＝3sinα，CN＝OCcosα＝3cosα，

∵ON⊥CN，GH⊥CH，

∴∠HON＝∠OHG，

∴tan∠HON＝＝tan∠OHG＝，

解得：tan，则sinα＝，cosα＝，

MH＝CHcosα＝2sinαcosα＝，CM＝CHsinα＝，

∴点H（，）；

设点G（m，﹣m2+2m+3），而点P（2，3），

由点G、P的坐标得，直线PG表达式中的k值为：﹣m＝﹣tanα＝-，

∴点G（﹣，），

由点G、H的坐标得，GH＝．