Question

【题目】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．

（1）求∠FDE的度数；

（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；

（3）当G为线段DC的中点时，

①求证：FD=FI；

②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）四边形FACD是平行四边形；（3）①证明见试题解析；②．

【解析】

试题（1）根据圆周角定理即可得到∠FDE=90°；

（2）由四边形ABCD是菱形，得到AB∥CD，AC⊥BD，∠AEB=90°，又由∠FDE=90°，得到∠AEB=∠FDE，从而有AC∥DF，故故可得到结论；

（3）①连接GE，易证GE是△ACD的中位线，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=GE，从而有，由圆周角定理可得∠1=∠2，再根据等角的余角相等可得∠3=∠4，进一步由等角对等边可得FD=DI；

②易知S⊙O=，S菱形ABCD=2mn，易证EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中运用勾股定理即可解决问题．

试题解析：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°；

（2）四边形FACD是平行四边形．理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠AEB=90°，又∵∠FDE=90°，∴∠AEB=∠FDE，∴AC∥DF，∴四边形FACD是平行四边形；

（3）①连接GE，如图．∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点，∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，∴∠FHI=∠FGE，∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°，∴∠FHI=90°，∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，∴DG=GE，∴，∴∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4，∴FD=FI；

②∵AC∥DF，∴∠3=∠6，∵∠4=∠5，∠3=∠4，∴∠5=∠6，∴EI=EA，∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，∴DE=BD=n，AE=AC=m，FD=AC=2m，∴EF=FI+IE=FD+AE=3m，在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：，即，∴S⊙O==，S菱形ABCD=，∴S⊙O：S菱形ABCD=．